MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 08 · Cinquième

Cours

Volumes et Contenances

Pavés, prismes et conversions

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Le volume est la mesure de l'espace occupé par un solide. En 5ème, on apprend à calculer le volume des solides les plus courants : les pavés droits, les prismes et les cylindres. Les conversions d'unités de volume (m³, dm³, cm³, L, mL) sont également essentielles dans la vie quotidienne.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

  • Maîtriser les méthodes essentielles de volumes et contenances.
  • Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Points de vigilance

  • Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
  • Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

1Rappels : solides et vocabulaire

Un solide est une figure géométrique à trois dimensions. On distingue plusieurs familles de solides : les polyèdres (dont toutes les faces sont des polygones) et les solides de révolution (obtenus par rotation d'une figure plane autour d'un axe).

Les polyèdres courants sont : le pavé droit (parallélépipède rectangle), le cube, les prismes (deux bases parallèles et identiques reliées par des faces rectangulaires), les pyramides et les cônes. Les solides de révolution courants sont le cylindre, le cône et la sphère.

Pour les polyèdres, la formule d'Euler relie le nombre de sommets SS, d'arêtes AA et de faces FF : S−A+F=2S - A + F = 2.

Définition

Polyèdre

Solide dont toutes les faces sont des polygones. Le cube, le pavé droit et les pyramides sont des polyèdres.

Définition

Prisme droit

Solide dont les deux bases (parallèles et identiques) sont des polygones, et dont les faces latérales sont des rectangles perpendiculaires aux bases.

Définition

Arête

Segment formé par l'intersection de deux faces d'un polyèdre.
Exemple 1— Formule d'Euler
Vérifier la formule d'Euler pour un cube.

Solution

Un cube a S=8S = 8 sommets, A=12A = 12 arêtes et F=6F = 6 faces.
S−A+F=8−12+6=2✓S - A + F = 8 - 12 + 6 = 2 \quad \checkmark
  • Prisme : deux bases parallèles et identiques + faces latérales rectangulaires.
  • Pyramide : une base polygonale + faces latérales triangulaires.
  • Formule d'Euler : S−A+F=2S - A + F = 2 pour tout polyèdre convexe.

2Volume du pavé droit et du cube

Le volume mesure l'espace intérieur d'un solide. L'unité de base est le mètre cube (m3\text{m}^3).

Pour un pavé droit (boîte rectangulaire) de longueur ℓ\ell, largeur ww et hauteur hh :
V=ℓ×w×hV = \ell \times w \times h

Pour un cube d'arête aa :
V=a3V = a^3

On peut interpréter ce volume comme une multiplication des trois dimensions. Le volume s'exprime en unités cubiques (m³, dm³, cm³, mm³, etc.).

Définition

Volume d'un pavé droit

V=ℓ×w×hV = \ell \times w \times h où ℓ\ell est la longueur, ww la largeur et hh la hauteur. L'unité est le cube de l'unité de longueur utilisée.

Définition

Volume d'un cube

V=a3V = a^3 où aa est la longueur de l'arête.
Exemple 1— Volume d'un pavé droit
Calculer le volume d'un aquarium en forme de pavé droit de longueur 8080 cm, largeur 3030 cm et hauteur 4040 cm.

Solution

V=80×30×40=96 000 cm3V = 80 \times 30 \times 40 = 96\,000 \text{ cm}^3
Exemple 2— Volume d'un cube
Calculer le volume d'un cube d'arête 55 cm.

Solution

V=53=125 cm3V = 5^3 = 125 \text{ cm}^3
Exemple 3— Trouver une dimension
Un pavé droit de base 1212 cm ×\times 88 cm a un volume de 576576 cm³. Quelle est sa hauteur ?

Solution

V=ℓ×w×h⇒h=Vℓ×w=57612×8=57696=6 cmV = \ell \times w \times h \Rightarrow h = \frac{V}{\ell \times w} = \frac{576}{12 \times 8} = \frac{576}{96} = 6 \text{ cm}
  • Volume du pavé droit : V=ℓ×w×hV = \ell \times w \times h.
  • Volume du cube : V=a3V = a^3.
  • Les trois dimensions doivent être dans la même unité.

3Volume d'un prisme droit et d'un cylindre

Pour tout prisme droit, le volume est le produit de l'aire de la base par la hauteur (longueur des arêtes latérales) :
V=Abase×hV = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h

Cette formule est universelle pour tous les prismes, quelle que soit la forme de la base (triangulaire, rectangulaire, hexagonale, etc.).

Pour un cylindre droit de rayon rr et de hauteur hh, la base est un disque d'aire πr2\pi r^2 :
V=πr2×hV = \pi r^2 \times h

On peut retenir que le cylindre est un « prisme à base circulaire ». La formule V=Abase×hV = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h s'applique de la même manière.

Définition

Volume d'un prisme droit

V=Abase×hV = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h où Abase\mathcal{A}_{\text{base}} est l'aire de la base et hh la hauteur du prisme.

Définition

Volume d'un cylindre droit

V=πr2hV = \pi r^2 h où rr est le rayon de la base circulaire et hh la hauteur du cylindre.
Exemple 1— Prisme à base triangulaire
Un prisme droit a pour base un triangle rectangle dont les cathètes mesurent 66 cm et 88 cm. Sa hauteur est 1010 cm. Calculer son volume.

Solution

Aire de la base (triangle rectangle) : A=6×82=24 cm2\mathcal{A} = \dfrac{6 \times 8}{2} = 24 \text{ cm}^2.

V=24×10=240 cm3V = 24 \times 10 = 240 \text{ cm}^3
Exemple 2— Volume d'un cylindre
Un cylindre a un rayon de 55 cm et une hauteur de 1212 cm. Calculer son volume (laisser en termes de π\pi).

Solution

V=π×52×12=π×25×12=300π≈942,5 cm3V = \pi \times 5^2 \times 12 = \pi \times 25 \times 12 = 300\pi \approx 942{,}5 \text{ cm}^3

⚠ Attention

Le rayon rr est la moitié du diamètre. Si l'énoncé donne un diamètre de 88 cm, le rayon est r=4r = 4 cm, et on écrit r2=16r^2 = 16 (et non 82=648^2 = 64).

4Unités de volume et conversions

Les unités de volume se déduisent des unités de longueur. Chaque fois qu'on change d'unité de longueur d'un facteur 1010, l'unité de volume change d'un facteur 103=100010^3 = 1000.
1 m3=1 000 dm3=1 000 000 cm31 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ dm}^3 = 1\,000\,000 \text{ cm}^3

Les unités de contenance sont directement liées aux unités de volume :
1 L=1 dm3=1 000 cm31 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1\,000 \text{ cm}^3
1 mL=1 cm31 \text{ mL} = 1 \text{ cm}^3

Ces relations permettent de convertir entre les unités de volume et les unités de contenance, ce qui est très utile en physique-chimie et dans la vie courante.

Définition

Litre

Unité de contenance : 1 L=1 dm3=1 000 cm3=1 000 mL1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1\,000 \text{ cm}^3 = 1\,000 \text{ mL}.

Définition

Tableau de conversion des volumes

Pour passer d'une unité à la suivante (vers les petites), on multiplie par 10001000. Vers les grandes unités, on divise par 10001000. 1 m3=103 dm3=106 cm3=109 mm31 \text{ m}^3 = 10^3 \text{ dm}^3 = 10^6 \text{ cm}^3 = 10^9 \text{ mm}^3.
Exemple 1— Conversion cm³ en litres
L'aquarium du premier exemple avait un volume de 96 00096\,000 cm³. Quelle est sa contenance en litres ?

Solution

96 000 cm3=96 000 mL=96 L96\,000 \text{ cm}^3 = 96\,000 \text{ mL} = 96 \text{ L}
(car 1 L=1 000 cm31 \text{ L} = 1\,000 \text{ cm}^3, donc on divise par 1 0001\,000).
Exemple 2— Conversion m³ en cm³
Convertir 0,0020{,}002 m³ en cm³.

Solution

0,002 m3=0,002×1 000 000 cm3=2 000 cm30{,}002 \text{ m}^3 = 0{,}002 \times 1\,000\,000 \text{ cm}^3 = 2\,000 \text{ cm}^3
Exemple 3— Problème de remplissage
Une piscine cylindrique a un rayon de 33 m et une profondeur de 1,51{,}5 m. Combien de litres d'eau peut-elle contenir ?

Solution

V=π×32×1,5=π×9×1,5=13,5π≈42,41 m3V = \pi \times 3^2 \times 1{,}5 = \pi \times 9 \times 1{,}5 = 13{,}5\pi \approx 42{,}41 \text{ m}^3

1 m3=1 000 L1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ L}, donc :
V≈42 410 LV \approx 42\,410 \text{ L}
  • 1 m3=1 000 dm3=1 000 000 cm31 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ dm}^3 = 1\,000\,000 \text{ cm}^3.
  • 1 L=1 dm3=1 000 cm3=1 000 mL1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1\,000 \text{ cm}^3 = 1\,000 \text{ mL}.
  • 1 mL=1 cm31 \text{ mL} = 1 \text{ cm}^3.
  • Entre unités de volume consécutives, le facteur de conversion est 1 0001\,000 (et non 100100 comme pour les longueurs).

★ À retenir

  • 1
    Volume du pavé droit : V=ℓ×w×hV = \ell \times w \times h. Volume du cube : V=a3V = a^3.
  • 2
    Volume de tout prisme droit : V=Abase×hV = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h.
  • 3
    Volume d'un cylindre : V=πr2hV = \pi r^2 h (le rayon est la moitié du diamètre !).
  • 4
    Conversions : 1 m3=1 000 dm3=1 000 000 cm31 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ dm}^3 = 1\,000\,000 \text{ cm}^3.
  • 5
    1 L=1 dm3=1 000 cm31 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1\,000 \text{ cm}^3 ; 1 mL=1 cm31 \text{ mL} = 1 \text{ cm}^3.
  • 6
    Entre deux unités de volume consécutives, le facteur est 1 000\mathbf{1\,000} (et non 100100 comme pour les longueurs).

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Statistiques et Probabilités

Fréquences, moyennes et premières probabilités

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Centre de symétrie et figures symétriques

Chapitre 05

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Triangles, quadrilatères et leurs propriétés