MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 05 · Cinquième

Cours

Géométrie Plane

Triangles, quadrilatères et leurs propriétés

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La géométrie plane étudie les figures tracées sur une surface plane. En 5ème, on approfondit l'étude des triangles et des quadrilatères, on découvre de nouvelles propriétés et de nouveaux théorèmes, et on apprend à démontrer des résultats géométriques en utilisant un raisonnement logique.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

  • Maîtriser les méthodes essentielles de géométrie plane.
  • Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Points de vigilance

  • Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
  • Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

1Les triangles : classification et propriétés

Un triangle est un polygone à trois côtés. On peut le classifier selon ses côtés (scalène : tous différents ; isocèle : deux côtés égaux ; équilatéral : trois côtés égaux) ou selon ses angles (rectangle : un angle droit ; obtusangle : un angle obtus ; acutangle : tous les angles aigus).

La propriété fondamentale des triangles est que la somme des angles d'un triangle est toujours égale à 180°180°. Cette propriété permet de calculer le troisième angle si on connaît les deux premiers.

L'inégalité triangulaire stipule que la longueur de chaque côté d'un triangle est strictement inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. Cette condition est nécessaire et suffisante pour qu'un triangle puisse exister.

Définition

Triangle isocèle

Triangle ayant au moins deux côtés de même longueur. Les angles à la base (opposés aux côtés égaux) sont égaux.

Définition

Triangle équilatéral

Triangle dont les trois côtés ont la même longueur. Ses trois angles valent chacun 60°60°.

Définition

Triangle rectangle

Triangle possédant un angle droit (90°90°). Le côté opposé à l'angle droit est l'hypoténuse, qui est le plus long côté.

Définition

Inégalité triangulaire

Pour tout triangle de côtés aa, bb, cc : a<b+ca < b + c, b<a+cb < a + c, c<a+bc < a + b.
Exemple 1— Calcul d'un angle
Dans un triangle ABCABC, A^=53°\hat{A} = 53° et B^=72°\hat{B} = 72°. Calculer C^\hat{C}.

Solution

La somme des angles vaut 180°180° :
C^=180°−53°−72°=55°\hat{C} = 180° - 53° - 72° = 55°
Exemple 2— Vérification de l'inégalité triangulaire
Peut-on construire un triangle avec les côtés 55 cm, 88 cm et 1414 cm ?

Solution

On vérifie si le plus grand côté est strictement inférieur à la somme des deux autres :
14<?5+8=1314 \stackrel{?}{<} 5 + 8 = 13
14>1314 > 13, donc la condition n'est pas vérifiée. On ne peut pas construire ce triangle.
  • Somme des angles d'un triangle : A^+B^+C^=180°\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180°.
  • Triangle isocèle : deux côtés égaux ↔ deux angles égaux.
  • Triangle équilatéral : tous les côtés égaux ↔ tous les angles égaux (60°60° chacun).

2Le théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, si on note aa et bb les longueurs des deux côtés de l'angle droit (cathètes) et cc la longueur de l'hypoténuse, alors :
c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2

C'est le célèbre théorème de Pythagore. Il permet de calculer la longueur du troisième côté d'un triangle rectangle quand on connaît les deux autres. On peut aussi l'utiliser dans le sens réciproque : si c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2, alors le triangle est rectangle.

Attention : le théorème de Pythagore ne s'applique qu'aux triangles rectangles, et cc doit être l'hypoténuse (le côté le plus long, opposé à l'angle droit).

Définition

Théorème de Pythagore

Dans tout triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2.

Définition

Réciproque du théorème de Pythagore

Si dans un triangle on a c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2, alors ce triangle est rectangle en l'angle opposé au côté cc.

Définition

Hypoténuse

Le côté le plus long d'un triangle rectangle, opposé à l'angle droit.
Exemple 1— Calcul de l'hypoténuse
Dans un triangle rectangle, les cathètes mesurent 66 cm et 88 cm. Calculer l'hypoténuse.

Solution

c2=a2+b2=62+82=36+64=100c^2 = a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100
c=100=10 cmc = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
L'hypoténuse mesure 1010 cm.
Exemple 2— Calcul d'une cathète
Dans un triangle rectangle d'hypoténuse 1313 cm et d'une cathète 55 cm, calculer l'autre cathète.

Solution

a2=c2−b2=132−52=169−25=144a^2 = c^2 - b^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144
a=144=12 cma = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}
Exemple 3— Réciproque
Un triangle a des côtés 99 cm, 1212 cm et 1515 cm. Est-il rectangle ?

Solution

On vérifie si 152=92+12215^2 = 9^2 + 12^2 :
152=225et92+122=81+144=22515^2 = 225 \quad \text{et} \quad 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225
Oui, 225=225225 = 225, donc le triangle est rectangle (en l'angle opposé au côté 1515 cm).

⚠ Attention

L'hypoténuse est TOUJOURS le côté opposé à l'angle droit. C'est le côté le plus long. On écrit toujours c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2 avec cc l'hypoténuse, jamais a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2 si aa n'est pas l'hypoténuse.

3Les quadrilatères et leurs propriétés

Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés. La famille des quadrilatères contient des figures de plus en plus spéciales : le trapèze, le parallélogramme, le losange, le rectangle et le carré forment une hiérarchie.

Le parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles (et donc égaux). Ses diagonales se coupent en leur milieu. Le rectangle est un parallélogramme dont tous les angles sont droits ; ses diagonales sont égales et se coupent en leur milieu. Le losange est un parallélogramme dont tous les côtés sont égaux ; ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. Le carré réunit toutes ces propriétés.

La somme des angles d'un quadrilatère (quelconque) est toujours égale à 360°360°.

Définition

Parallélogramme

Quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles et égaux. Les diagonales se coupent en leur milieu.

Définition

Rectangle

Parallélogramme dont tous les angles sont droits. Les diagonales sont égales et se coupent en leur milieu.

Définition

Losange

Parallélogramme dont tous les côtés sont égaux. Les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.

Définition

Carré

Quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange : quatre côtés égaux et quatre angles droits.
Exemple 1— Angle manquant d'un quadrilatère
Dans un quadrilatère ABCDABCD, A^=80°\hat{A} = 80°, B^=110°\hat{B} = 110°, C^=95°\hat{C} = 95°. Calculer D^\hat{D}.

Solution

La somme des angles d'un quadrilatère est 360°360° :
D^=360°−80°−110°−95°=75°\hat{D} = 360° - 80° - 110° - 95° = 75°
Exemple 2— Identification de figure
Un parallélogramme ABCDABCD a des diagonales perpendiculaires et égales. Quelle figure est-ce ?

Solution

Diagonales égales ⇒\Rightarrow rectangle. Diagonales perpendiculaires ⇒\Rightarrow losange. Les deux conditions ensemble ⇒\Rightarrow carré.
  • Somme des angles d'un quadrilatère : 360°360°.
  • Tout rectangle est un parallélogramme, mais l'inverse est faux.
  • Le carré est un rectangle ET un losange.
  • Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.

4Triangles semblables et agrandissement

Deux triangles sont semblables si leurs angles sont respectivement égaux (et donc si leurs côtés sont proportionnels). Deux triangles semblables ont la même forme mais pas forcément la même taille.

Le rapport de similitude (ou rapport d'agrandissement) kk est le rapport de deux côtés homologues. Si k>1k > 1, c'est un agrandissement ; si 0<k<10 < k < 1, c'est une réduction.

Le théorème de Thalès (ou théorème des milieux dans une première approche) permet de prouver que deux triangles sont semblables quand deux droites parallèles coupent deux droites sécantes.

Définition

Triangles semblables

Deux triangles dont les angles sont égaux deux à deux. Leurs côtés homologues sont proportionnels.

Définition

Rapport de similitude

Rapport k=coˆteˊ imagecoˆteˊ originalk = \dfrac{\text{côté image}}{\text{côté original}} entre les côtés homologues de deux figures semblables.
Exemple 1— Calcul par similitude
Deux triangles sont semblables. Le premier a un côté de 66 cm qui correspond à un côté de 99 cm du second. Un autre côté du premier mesure 88 cm. Combien mesure le côté homologue du second ?

Solution

Rapport de similitude : k=96=1,5k = \dfrac{9}{6} = 1{,}5

Côté homologue : 8×1,5=128 \times 1{,}5 = 12 cm.

⚠ Attention

Quand on agrandit une figure plane avec un rapport kk, les longueurs sont multipliées par kk, mais les aires sont multipliées par k2k^2. Ne pas confondre !

★ À retenir

  • 1
    Somme des angles d'un triangle : 180°180°. Somme des angles d'un quadrilatère : 360°360°.
  • 2
    Théorème de Pythagore (triangle rectangle) : c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2 où cc est l'hypoténuse.
  • 3
    Réciproque de Pythagore : si c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2, alors le triangle est rectangle.
  • 4
    Carré : quatre côtés égaux + quatre angles droits. Losange : quatre côtés égaux. Rectangle : quatre angles droits.
  • 5
    Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.
  • 6
    Inégalité triangulaire : chaque côté est strictement inférieur à la somme des deux autres.

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Chapitre 04

Proportionnalité

Pourcentages, échelles et vitesse

Chapitre 06

Symétrie Centrale

Centre de symétrie et figures symétriques

Chapitre 03

Calcul Littéral

Expressions algébriques, développement et réduction