Chapitre 04 · Cinquième

Cours

Proportionnalité

Pourcentages, échelles et vitesse

La proportionnalité est partout dans la vie courante : recettes de cuisine, plans et cartes, vitesses, prix... Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque leurs valeurs sont liées par un rapport constant appelé coefficient de proportionnalité. En 5ème, on approfondit ce concept avec les pourcentages, les échelles et les situations de vitesse.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

Comparer, simplifier et transformer des écritures numériques.
Justifier les étapes de calcul sans sauter les conversions importantes.

Points de vigilance

Mélanger addition et multiplication des fractions.
Oublier de simplifier le résultat final.

1Rappels : tableaux de proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles si, quand l'une est multipliée par un nombre, l'autre est multipliée par le même nombre. Le coefficient de proportionnalité

k

est le rapport constant entre une valeur de la deuxième grandeur et la valeur correspondante de la première :

k = \dfrac{y}{x}

.

Dans un tableau de proportionnalité, on peut utiliser la propriété de linéarité : si on multiplie une colonne par un nombre, toutes les colonnes sont multipliées par ce même nombre. On peut aussi utiliser la règle de trois (ou produit en croix) : si

\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}

, alors

a \times d = b \times c

.

On peut reconnaître une situation de proportionnalité si le rapport

\dfrac{y}{x}

est constant pour tous les couples

(x, y)

du tableau.

Définition

Coefficient de proportionnalité

Nombre

k

tel que

y = k \times x

pour tout couple

(x, y)

de la situation. On l'obtient en calculant

k = \dfrac{y}{x}

Définition

Règle de trois (produit en croix)

Dans un tableau de proportionnalité :

\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow a \times d = b \times c

. Permet de trouver une valeur inconnue.

Exemple 1— Vérification de proportionnalité

Les tableaux suivants sont-ils proportionnels ? (a)

x : 2, 5, 8

y : 6, 15, 24

; (b)

x : 1, 2, 4

y : 3, 5, 9

Solution

(a)

\dfrac{6}{2} = 3

\dfrac{15}{5} = 3

\dfrac{24}{8} = 3

. Rapport constant

= 3

\Rightarrow

proportionnel.

(b)

\dfrac{3}{1} = 3

\dfrac{5}{2} = 2{,}5

. Rapports différents

\Rightarrow

NON proportionnel.

Exemple 2— Règle de trois

Si 4 stylos coûtent 6 €, combien coûtent 10 stylos ?

Solution

On pose le tableau :

\dfrac{6}{4} = \dfrac{x}{10}

Produit en croix :

x = \dfrac{6 \times 10}{4} = \dfrac{60}{4} = 15

10 stylos coûtent 15 €.

Coefficient de proportionnalité : $k = \dfrac{y}{x}$ (rapport constant).
Dans un tableau proportionnel, si on multiplie une valeur de $x$ par $n$ , la valeur de $y$ correspondante est aussi multipliée par $n$ .

2Pourcentages

Un pourcentage exprime une proportion sur

100

. «

p\,\%

a

» signifie

\dfrac{p}{100} \times a

. Les pourcentages sont un cas particulier de la proportionnalité avec un coefficient

\dfrac{p}{100}

.

Pour calculer un pourcentage d'une valeur : on multiplie la valeur par le pourcentage divisé par

100

. Pour trouver le taux correspondant à une proportion : on divise la partie par le total et on multiplie par

100

.

Pour appliquer une augmentation de

p\,\%

, on multiplie par

\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)

. Pour appliquer une réduction de

p\,\%

, on multiplie par

\left(1 - \dfrac{p}{100}\right)

. Ces coefficients s'appellent coefficients multiplicateurs.

Définition

Pourcentage

Un pourcentage est un rapport dont le dénominateur est

100

p\,\% = \dfrac{p}{100}

. Exemple :

35\,\% = \dfrac{35}{100} = 0{,}35

Définition

Coefficient multiplicateur

Nombre par lequel on multiplie pour appliquer une variation en pourcentage. Augmentation de

p\,\%

: coefficient

= 1 + \dfrac{p}{100}

. Réduction de

p\,\%

: coefficient

= 1 - \dfrac{p}{100}

Exemple 1— Calcul d'un pourcentage

Calculer

30\,\%

450

Solution

30\,\% \times 450 = \frac{30}{100} \times 450 = 0{,}3 \times 450 = 135

Exemple 2— Taux de réussite

Dans une classe de

28

élèves,

21

ont réussi le contrôle. Quel est le taux de réussite ?

Solution

\text{Taux} = \frac{21}{28} \times 100 = 0{,}75 \times 100 = 75\,\%

Le taux de réussite est de

75\,\%

Exemple 3— Réduction commerciale

Un article coûte

80

€. Il bénéficie d'une réduction de

15\,\%

. Quel est le prix final ?

Solution

Coefficient multiplicateur pour une réduction de

15\,\%

1 - 0{,}15 = 0{,}85

\text{Prix final} = 80 \times 0{,}85 = 68 \text{ \euro}

⚠ Attention

Une réduction de

20\,\%

puis une augmentation de

20\,\%

ne redonne PAS la valeur initiale ! Les pourcentages successifs ne s'annulent pas :

100 \times 0{,}8 \times 1{,}2 = 96 \neq 100

3Échelles et plans

Une échelle est un rapport de proportionnalité entre une mesure sur un plan (ou une carte) et la mesure réelle correspondante. Elle s'exprime sous la forme

\dfrac{1}{n}

(par exemple

\dfrac{1}{50\,000}

) ou comme

1 : n

.

L'échelle est définie par :

\text{échelle} = \dfrac{\text{mesure sur le plan}}{\text{mesure réelle}}

. Les deux mesures doivent être exprimées dans la même unité.

Pour passer de la mesure réelle à la mesure sur le plan : on multiplie par l'échelle. Pour passer de la mesure sur le plan à la mesure réelle : on divise par l'échelle (ou on multiplie par

n

si l'échelle est

1/n

). La gestion des unités (cm, m, km) est cruciale.

Définition

Échelle

\text{échelle} = \dfrac{\text{mesure sur le plan}}{\text{mesure réelle}}

(dans la même unité). Une échelle de

\dfrac{1}{100}

signifie que

1

cm sur le plan correspond à

100

cm (=

1

m) en réalité.

Exemple 1— Distance réelle à partir de la carte

Sur une carte à l'échelle

\dfrac{1}{50\,000}

, deux villes sont distantes de

4{,}5

cm. Quelle est la distance réelle ?

Solution

\text{distance réelle} = \frac{\text{mesure carte}}{\text{échelle}} = \frac{4{,}5 \text{ cm}}{\dfrac{1}{50\,000}} = 4{,}5 \times 50\,000 = 225\,000 \text{ cm} = 2{,}25 \text{ km}

Exemple 2— Mesure sur un plan

Une pièce mesure

6

m de longueur. Sur un plan à l'échelle

\dfrac{1}{100}

, quelle est la longueur représentée ?

Solution

On convertit

6

m en cm :

6

= 600

cm.

\text{mesure plan} = 600 \times \frac{1}{100} = 6 \text{ cm}

Toujours utiliser la même unité pour le plan et la réalité avant d'appliquer l'échelle.
Échelle $\dfrac{1}{n}$ : mesure réelle $= n \times$ mesure plan.
Plus $n$ est grand, plus la représentation est réduite.

4Vitesse, distance et durée

La vitesse moyenne est le rapport entre la distance parcourue et la durée du trajet. La relation fondamentale est :

v = \frac{d}{t} \quad \Leftrightarrow \quad d = v \times t \quad \Leftrightarrow \quad t = \frac{d}{v}

où

v

est la vitesse,

d

la distance et

t

la durée. On retient souvent ces formules grâce au « triangle DST » (Distance, Vitesse notée S comme Speed, Temps).

L'unité la plus courante est le km/h (kilomètre par heure). On peut aussi travailler en m/s (mètre par seconde). Pour les conversions :

1

m/s

= 3{,}6

km/h, ou

1

km/h

= \dfrac{1}{3{,}6}

m/s.

Définition

Vitesse moyenne

La vitesse moyenne est

v = \dfrac{d}{t}

, où

d

est la distance parcourue et

t

la durée du trajet. L'unité est km/h si

d

est en km et

t

en h.

Exemple 1— Calcul de la vitesse

Un cycliste parcourt

45

km en

1

30

min. Quelle est sa vitesse moyenne ?

Solution

On convertit

1

30

min en heures :

1{,}5

v = \frac{d}{t} = \frac{45}{1{,}5} = 30 \text{ km/h}

Exemple 2— Calcul de la distance

Un train roule à

160

km/h pendant

2

15

min. Quelle distance a-t-il parcourue ?

Solution

2

15

min

= 2{,}25

d = v \times t = 160 \times 2{,}25 = 360 \text{ km}

Exemple 3— Calcul de la durée

Une voiture doit parcourir

210

km à une vitesse de

70

km/h. Combien de temps met-elle ?

Solution

t = \frac{d}{v} = \frac{210}{70} = 3 \text{ h}

⚠ Attention

Attention aux unités ! Si la distance est en km et la durée en minutes, il faut convertir la durée en heures avant d'appliquer la formule.

★ À retenir

1
Deux grandeurs sont proportionnelles si leur rapport $\dfrac{y}{x}$ est constant (coefficient de proportionnalité).
2
$p\,\%$ de $a = \dfrac{p}{100} \times a$ .
3
Augmentation de $p\,\%$ : multiplier par $\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$ ; réduction de $p\,\%$ : multiplier par $\left(1 - \dfrac{p}{100}\right)$ .
4
Échelle $= \dfrac{\text{mesure plan}}{\text{mesure réelle}}$ (dans la même unité).
5
Vitesse : $v = \dfrac{d}{t}$ , distance : $d = v \times t$ , durée : $t = \dfrac{d}{v}$ .
6
Toujours vérifier la cohérence des unités avant de calculer.

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Exercices — Proportionnalité

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Chapitre 03

Proportionnalité

Comment utiliser ce cours efficacement

1Rappels : tableaux de proportionnalité

2Pourcentages

3Échelles et plans

4Vitesse, distance et durée

★ À retenir

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Chapitres liés à revoir ensuite

Calcul Littéral

Géométrie Plane

Calculs avec les Fractions