MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 02 · Cinquième

Calculs avec les Fractions

Multiplication, division et priorités avec les fractions

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Travailler Calculs avec les Fractions en Cinquième

Ce chapitre de calculs avec les fractions en 5ème te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

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Prérequis

  • Vérifier les priorités de calcul et les multiples utiles.
  • Revenir au sens de la fraction ou du coefficient avant de calculer.

Compétences à maîtriser

  • Comparer, simplifier et transformer des écritures numériques.
  • Justifier les étapes de calcul sans sauter les conversions importantes.

Erreurs fréquentes

  • Mélanger addition et multiplication des fractions.
  • Oublier de simplifier le résultat final.

En contrôle ou en examen : Ce thème revient souvent sous forme de calculs courts et de problèmes concrets.

1Facile

Multiplication de fractions

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Énoncé

Calculer et simplifier les produits suivants :
1. 35×27\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{7}
2. 49×38\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8}
3. 6×5126 \times \dfrac{5}{12}

Correction détaillée

01

Règle de multiplication

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :
ab×cd=a×cb×d\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}
02

Calcul des produits

1. 35×27=3×25×7=635\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{7} = \dfrac{3 \times 2}{5 \times 7} = \dfrac{6}{35}
2. 49×38=4×39×8=1272\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{4 \times 3}{9 \times 8} = \dfrac{12}{72}
3. 6×512=6×512=30126 \times \dfrac{5}{12} = \dfrac{6 \times 5}{12} = \dfrac{30}{12}
03

Simplification

2. 1272=12÷1272÷12=16\dfrac{12}{72} = \dfrac{12 \div 12}{72 \div 12} = \dfrac{1}{6}
3. 3012=30÷612÷6=52\dfrac{30}{12} = \dfrac{30 \div 6}{12 \div 6} = \dfrac{5}{2}
2Intermédiaire

Division de fractions

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Énoncé

Calculer et simplifier :
1. 56÷23\dfrac{5}{6} \div \dfrac{2}{3}
2. 74÷148\dfrac{7}{4} \div \dfrac{14}{8}
3. 35÷6\dfrac{3}{5} \div 6

Correction détaillée

01

Règle de division

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :
ab÷cd=ab×dc=a×db×c\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}
02

Application de la règle

1. 56÷23=56×32=1512\dfrac{5}{6} \div \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{15}{12}
2. 74÷148=74×814=5656\dfrac{7}{4} \div \dfrac{14}{8} = \dfrac{7}{4} \times \dfrac{8}{14} = \dfrac{56}{56}
3. 35÷6=35×16=330\dfrac{3}{5} \div 6 = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{30}
03

Simplification des résultats

1. 1512=54\dfrac{15}{12} = \dfrac{5}{4}
2. 5656=1\dfrac{56}{56} = 1
3. 330=110\dfrac{3}{30} = \dfrac{1}{10}
3Intermédiaire

Priorités opératoires avec les fractions

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Énoncé

Calculer en respectant les priorités opératoires :
A=34+12×23A = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{3}
B=(56−13)×32B = \left(\frac{5}{6} - \frac{1}{3}\right) \times \frac{3}{2}

Correction détaillée

01

Calcul de A (multiplication en priorité)

On effectue d'abord la multiplication :
12×23=26=13\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}
Puis l'addition : A=34+13A = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{3}
02

Réduction au même dénominateur pour A

A=3×312+1×412=912+412=1312A = \dfrac{3 \times 3}{12} + \dfrac{1 \times 4}{12} = \dfrac{9}{12} + \dfrac{4}{12} = \dfrac{13}{12}
03

Calcul de B (parenthèses en priorité)

On effectue d'abord la soustraction dans la parenthèse :
56−13=56−26=36=12\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}
Puis la multiplication : B=12×32=34B = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{4}
4Difficile

Problème de partage avec les fractions

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Énoncé

Une classe de 3030 élèves réalise un projet.
- 25\dfrac{2}{5} des élèves travaillent sur la partie recherche.
- 13\dfrac{1}{3} des élèves travaillent sur la partie présentation.
- Les autres élèves travaillent sur la mise en forme.
1. Combien d'élèves travaillent sur la recherche ?
2. Combien d'élèves travaillent sur la présentation ?
3. Quelle fraction des élèves travaille sur la mise en forme ? Combien sont-ils ?

Correction détaillée

01

Élèves sur la recherche

25\dfrac{2}{5} de 30=25×30=605=1230 = \dfrac{2}{5} \times 30 = \dfrac{60}{5} = 12 élèves travaillent sur la recherche.
02

Élèves sur la présentation

13\dfrac{1}{3} de 30=13×30=303=1030 = \dfrac{1}{3} \times 30 = \dfrac{30}{3} = 10 élèves travaillent sur la présentation.
03

Fraction et nombre d'élèves sur la mise en forme

Fraction des élèves sur la mise en forme : 1−25−13=1515−615−515=4151 - \dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{15}{15} - \dfrac{6}{15} - \dfrac{5}{15} = \dfrac{4}{15}
Nombre d'élèves : 415×30=12015=8\dfrac{4}{15} \times 30 = \dfrac{120}{15} = 8 élèves.
5Facile

Simplification de fractions

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Énoncé

Simplifier :
1. 1824\dfrac{18}{24}
2. 2128\dfrac{21}{28}
3. 4560\dfrac{45}{60}

Correction détaillée

01

Recherche du plus grand diviseur commun

1. 1824=18÷624÷6=34\dfrac{18}{24} = \dfrac{18 \div 6}{24 \div 6} = \dfrac{3}{4}
2. 2128=21÷728÷7=34\dfrac{21}{28} = \dfrac{21 \div 7}{28 \div 7} = \dfrac{3}{4}
02

Dernière fraction

3. 4560=45÷1560÷15=34\dfrac{45}{60} = \dfrac{45 \div 15}{60 \div 15} = \dfrac{3}{4}
6Facile

Fraction d'une quantité

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Énoncé

Calculer :
1. 34\dfrac{3}{4} de 2020
2. 56\dfrac{5}{6} de 2424
3. 710\dfrac{7}{10} de 9090

Correction détaillée

01

Application directe

1. 34×20=15\dfrac{3}{4} \times 20 = 15
2. 56×24=20\dfrac{5}{6} \times 24 = 20
02

Dernier calcul

3. 710×90=63\dfrac{7}{10} \times 90 = 63
7Intermédiaire

Comparaison de fractions simples

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Énoncé

Comparer :
1. 35\dfrac{3}{5} et 23\dfrac{2}{3}
2. 78\dfrac{7}{8} et 56\dfrac{5}{6}
3. 49\dfrac{4}{9} et 12\dfrac{1}{2}

Correction détaillée

01

Réduction au même dénominateur

1. 35=915\dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{15} et 23=1015\dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{15}, donc 35<23\dfrac{3}{5} < \dfrac{2}{3}.
2. 78=2124\dfrac{7}{8} = \dfrac{21}{24} et 56=2024\dfrac{5}{6} = \dfrac{20}{24}, donc 78>56\dfrac{7}{8} > \dfrac{5}{6}.
02

Troisième comparaison

49=818\dfrac{4}{9} = \dfrac{8}{18} et 12=918\dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{18}, donc 49<12\dfrac{4}{9} < \dfrac{1}{2}.
8Intermédiaire

Expression avec parenthèses

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Énoncé

Calculer :
A=(712+16)×3A = \left(\dfrac{7}{12} + \dfrac{1}{6}\right) \times 3
B=58÷103B = \dfrac{5}{8} \div \dfrac{10}{3}

Correction détaillée

01

Calcul de A

16=212\dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{12}, donc 712+212=912=34\dfrac{7}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}.
Ainsi, A=34×3=94A = \dfrac{3}{4} \times 3 = \dfrac{9}{4}.
02

Calcul de B

B=58×310=1580=316B = \dfrac{5}{8} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{15}{80} = \dfrac{3}{16}.
9Intermédiaire

Produit en simplifiant avant

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Énoncé

Calculer et simplifier :
1. 815×94\dfrac{8}{15} \times \dfrac{9}{4}
2. 1425×1521\dfrac{14}{25} \times \dfrac{15}{21}

Correction détaillée

01

Premier produit

On simplifie : 88 et 44, puis 99 et 1515.
815×94=25×91=185\dfrac{8}{15} \times \dfrac{9}{4} = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{9}{1} = \dfrac{18}{5}
02

Deuxième produit

On simplifie 1414 avec 2121 et 1515 avec 2525.
1425×1521=25×33=25\dfrac{14}{25} \times \dfrac{15}{21} = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{3} = \dfrac{2}{5}
10Intermédiaire

Division et nombre entier

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Énoncé

Calculer :
1. 4÷254 \div \dfrac{2}{5}
2. 97÷3\dfrac{9}{7} \div 3
3. 1112÷1118\dfrac{11}{12} \div \dfrac{11}{18}

Correction détaillée

01

Transformer en produit

1. 4÷25=4×52=104 \div \dfrac{2}{5} = 4 \times \dfrac{5}{2} = 10
2. 97÷3=97×13=37\dfrac{9}{7} \div 3 = \dfrac{9}{7} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{7}
02

Dernière division

1112÷1118=1112×1811=1812=32\dfrac{11}{12} \div \dfrac{11}{18} = \dfrac{11}{12} \times \dfrac{18}{11} = \dfrac{18}{12} = \dfrac{3}{2}.
11Difficile

Partage de gâteau

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Énoncé

Un gâteau est partagé ainsi : Léa mange 14\dfrac{1}{4} du gâteau, Adam mange 13\dfrac{1}{3} et Inès mange 16\dfrac{1}{6}.
1. Quelle fraction du gâteau a été mangée ?
2. Quelle fraction reste-t-il ?

Correction détaillée

01

Somme des fractions mangées

PPCM des dénominateurs : 1212.
14+13+16=312+412+212=912=34\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{4}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}
02

Fraction restante

Il reste donc 1−34=141 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4} du gâteau.
12Difficile

Trouver le facteur manquant

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Énoncé

Trouver la fraction manquante :
1. 37×x=914\dfrac{3}{7} \times x = \dfrac{9}{14}
2. x÷56=43x \div \dfrac{5}{6} = \dfrac{4}{3}

Correction détaillée

01

Première équation

x=914÷37=914×73=32x = \dfrac{9}{14} \div \dfrac{3}{7} = \dfrac{9}{14} \times \dfrac{7}{3} = \dfrac{3}{2}.
02

Deuxième équation

Si x÷56=43x \div \dfrac{5}{6} = \dfrac{4}{3}, alors x=43×56=2018=109x = \dfrac{4}{3} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{20}{18} = \dfrac{10}{9}.
13Difficile

Recette pour plusieurs personnes

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Énoncé

Une recette pour 88 personnes demande 34\dfrac{3}{4} L de lait.
1. Quelle quantité faut-il pour 1212 personnes ?
2. Quelle quantité faut-il pour 44 personnes ?

Correction détaillée

01

Passage à 12 personnes

Le coefficient est 128=32\dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}.
Quantité : 34×32=98\dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{8} L.
02

Passage à 4 personnes

Le coefficient est 48=12\dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}.
Quantité : 34×12=38\dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{8} L.
14Facile

Aire colorée

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Énoncé

Dans un rectangle, la moitié est coloriée en bleu. Puis les 25\dfrac{2}{5} de la partie bleue sont hachurés.
Quelle fraction du rectangle est hachurée ?

Correction détaillée

01

Produit de fractions

La partie hachurée représente 12×25\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{5} du rectangle.
02

Résultat

12×25=210=15\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}.
La fraction hachurée est donc 15\dfrac{1}{5}.
15Difficile

Expression fractionnaire complète

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Énoncé

Calculer :
C=23+(56×35)−14C = \dfrac{2}{3} + \left(\dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{5}\right) - \dfrac{1}{4}

Correction détaillée

01

Calcul du produit

56×35=36=12\dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}.
Donc C=23+12−14C = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}.
02

Réduction au même dénominateur

Au dénominateur 1212 :
C=812+612−312=1112C = \dfrac{8}{12} + \dfrac{6}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{11}{12}

Suivi personnel

Garder le cap sur ce chapitre

15 exercice(s) à revoir. Tu peux marquer ce chapitre comme terminé quand tu as repris les exercices sans aide.

Organisation

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Continuer la progression

Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 01

Nombres Relatifs

Addition, soustraction et comparaison des nombres relatifs

Chapitre 03

Calcul Littéral

Expressions algébriques, développement et réduction

Chapitre 04

Proportionnalité

Pourcentages, échelles et vitesse