Calculs avec les Fractions

Pour additionner ou soustraire deux fractions, elles doivent avoir le même dénominateur (on dit qu'elles sont de même dénominateur ou homogènes). Si ce n'est pas le cas, on commence par les réduire au même dénominateur en cherchant le plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs.

Une fois les fractions au même dénominateur $d$, on additionne (ou soustrait) uniquement les numérateurs, et on conserve le dénominateur : $\dfrac{a}{d} + \dfrac{b}{d} = \dfrac{a+b}{d}$.

On simplifie ensuite le résultat si possible en divisant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.

La multiplication de fractions est la plus simple des opérations : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, sans avoir besoin d'un dénominateur commun.
$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$$

Avant de multiplier, il est souvent utile de simplifier en croix : si un numérateur et un dénominateur (pas nécessairement de la même fraction) ont un facteur commun, on peut simplifier avant de calculer, ce qui rend les nombres plus petits.

La multiplication d'une fraction par un entier $n$ s'écrit $n \times \dfrac{a}{b} = \dfrac{n \times a}{b}$. Un entier $n$ peut s'écrire $\dfrac{n}{1}$.

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse (son reciproque). L'inverse de $\dfrac{a}{b}$ est $\dfrac{b}{a}$ (à condition que $a \neq 0$). La règle s'écrit :
$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}$$

On dit souvent qu'on « retourne » la deuxième fraction avant de multiplier. Cette opération s'appelle aussi une division de fractions ou un quotient de fractions.

Si on divise un entier par une fraction, on peut écrire l'entier avec le dénominateur $1$. Par exemple, $4 \div \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{1} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{12}{2} = 6$.

Les règles de priorités s'appliquent aux fractions exactement comme aux nombres entiers ou décimaux. On effectue dans cet ordre : d'abord les puissances, ensuite les multiplications et divisions (de gauche à droite), enfin les additions et soustractions (de gauche à droite). La présence de parenthèses change cet ordre : on commence toujours par calculer le contenu des parenthèses.

Lors de calculs enchaînés avec des fractions, il est important de bien identifier les opérations, leur ordre, et de simplifier à chaque étape lorsque c'est possible.

Un quotient de la forme $\dfrac{a+b}{c}$ signifie $(a+b) \div c$ : la barre de fraction joue le rôle de parenthèses pour le numérateur et le dénominateur. On calcule donc d'abord le numérateur et le dénominateur avant de simplifier.