MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 01 · Cinquième

Cours

Nombres Relatifs

Addition, soustraction, multiplication et comparaison

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Les nombres relatifs permettent de représenter des quantités qui peuvent être positives ou négatives : une température en dessous de zéro, un solde bancaire négatif, une altitude sous le niveau de la mer. En 5ème, on apprend à manipuler ces nombres avec les quatre opérations et à les comparer sur la droite numérique.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

  • Maîtriser les méthodes essentielles de nombres relatifs.
  • Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Points de vigilance

  • Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
  • Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

1Définition et représentation sur la droite numérique

Un nombre relatif est un nombre muni d'un signe : soit positif (++), soit négatif (−-). Les nombres positifs sont supérieurs à zéro, les nombres négatifs sont inférieurs à zéro. Le nombre 00 est ni positif ni négatif, il est son propre opposé.

On représente les nombres relatifs sur une droite graduée (ou droite numérique) : les positifs sont à droite de 00, les négatifs à gauche. Plus on va vers la droite, plus le nombre est grand. La valeur absolue d'un nombre relatif est sa distance à zéro sur cette droite, indépendamment du signe.

Par exemple, ∣−5∣=5|{-5}| = 5 et ∣+3∣=3|{+3}| = 3. On note que ∣−5∣|{-5}| est plus grand que ∣+3∣|{+3}|, même si −5<+3-5 < +3. La valeur absolue est toujours positive ou nulle.

Définition

Nombre relatif

Un nombre relatif est un nombre qui peut être positif, négatif ou nul. On écrit un signe ++ ou −- devant sa valeur absolue. Exemples : −7-7, +3+3, −0,5-0{,}5, +34+\frac{3}{4}.

Définition

Valeur absolue

La valeur absolue d'un nombre relatif aa, notée ∣a∣|a|, est sa distance à zéro sur la droite numérique. Elle est toujours positive ou nulle. ∣−8∣=8|{-8}| = 8, ∣+8∣=8|{+8}| = 8, ∣0∣=0|0| = 0.

Définition

Opposé

L'opposé d'un nombre relatif aa est le nombre −a-a qui a la même valeur absolue mais le signe contraire. L'opposé de +5+5 est −5-5, et l'opposé de −3-3 est +3+3.
Exemple 1— Lecture sur la droite numérique
Placer les nombres −4-4, +2+2, −1,5-1{,}5 et +3+3 sur une droite graduée, puis les classer dans l'ordre croissant.

Solution

Sur la droite, on place −4-4 (4 unités à gauche de 0), −1,5-1{,}5 (1,5 unités à gauche), +2+2 (2 unités à droite), +3+3 (3 unités à droite).

Ordre croissant : −4<−1,5<+2<+3-4 < -1{,}5 < +2 < +3.
Exemple 2— Valeur absolue
Calculer ∣−12∣|{-12}|, ∣+7∣|{+7}| et ∣0∣|0|.

Solution

∣−12∣=12|{-12}| = 12 (distance de −12-12 à 00 est 1212)

∣+7∣=7|{+7}| = 7

∣0∣=0|0| = 0
  • Tout nombre positif est plus grand que tout nombre négatif.
  • Entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui dont la valeur absolue est la plus petite : −2>−8-2 > -8.
  • La valeur absolue est toujours positive ou nulle.

2Addition et soustraction de nombres relatifs

Pour additionner deux nombres relatifs, on distingue deux cas. Si les deux nombres ont le même signe, on additionne leurs valeurs absolues et on garde le signe commun. Si les deux nombres ont des signes contraires, on soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande, et on garde le signe du nombre avec la plus grande valeur absolue.

Pour soustraire un nombre relatif, on utilise la règle fondamentale : soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé. Ainsi, a−b=a+(−b)a - b = a + (-b). Cela permet de ramener toute soustraction à une addition.

On peut aussi simplifier les signes successifs : deux signes identiques donnent ++, deux signes différents donnent −-. Ainsi +(+a)=+a+( +a) = +a, +(−a)=−a+(-a) = -a, −(−a)=+a-(-a) = +a, −(+a)=−a-(+a) = -a.

Définition

Règle des signes pour l'addition

Même signe : ∣a∣+∣b∣|a| + |b| avec le signe commun. Signes contraires : ∣∣a∣−∣b∣∣\big||a| - |b|\big| avec le signe du nombre ayant la plus grande valeur absolue.

Définition

Soustraction d'un relatif

Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé : a−(+b)=a+(−b)a - (+b) = a + (-b) et a−(−b)=a+(+b)a - (-b) = a + (+b).
Exemple 1— Addition — même signe
Calculer (−8)+(−5)(-8) + (-5).

Solution

Les deux nombres sont négatifs. On additionne les valeurs absolues : 8+5=138 + 5 = 13. On garde le signe négatif.
(−8)+(−5)=−13(-8) + (-5) = -13
Exemple 2— Addition — signes contraires
Calculer (−9)+(+4)(-9) + (+4).

Solution

Les signes sont différents. On soustrait les valeurs absolues : 9−4=59 - 4 = 5. Le nombre avec la plus grande valeur absolue est −9-9, donc le résultat est négatif.
(−9)+(+4)=−5(-9) + (+4) = -5
Exemple 3— Soustraction
Calculer (+6)−(−3)(+6) - (-3).

Solution

On remplace la soustraction par l'addition de l'opposé :
(+6)−(−3)=(+6)+(+3)=+9(+6) - (-3) = (+6) + (+3) = +9
Exemple 4— Simplification de signes
Simplifier puis calculer 5−(−3)+(−7)−(+2)5 - (-3) + (-7) - (+2).

Solution

On transforme chaque soustraction :
5+3+(−7)+(−2)=5+3−7−25 + 3 + (-7) + (-2) = 5 + 3 - 7 - 2
=8−9=−1= 8 - 9 = -1

⚠ Attention

Ne pas confondre le signe d'un nombre (qui lui appartient) et le signe de l'opération. Dans 5−(−3)5 - (-3), le premier −- est le signe de l'opération, et le second −- est le signe du nombre −3-3. La règle −×−=+- \times - = + donne bien 5+3=85 + 3 = 8.

3Multiplication et division de nombres relatifs

Pour multiplier ou diviser deux nombres relatifs, on applique la règle des signes : le produit (ou quotient) de deux nombres de même signe est positif ; le produit (ou quotient) de deux nombres de signes contraires est négatif.

On calcule d'abord la valeur absolue du résultat (comme pour des positifs), puis on détermine le signe grâce à la règle. Cette règle s'étend au produit de plusieurs facteurs : le résultat est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair, négatif si ce nombre est impair.

La règle des signes pour les produits est souvent résumée ainsi : (+)×(+)=+( +) \times (+) = +, (−)×(−)=+(-) \times (-) = +, (+)×(−)=−(+) \times (-) = -, (−)×(+)=−(-) \times (+) = -.

Définition

Règle des signes pour la multiplication

Le produit de deux nombres de même signe est positif. Le produit de deux nombres de signes contraires est négatif. La valeur absolue du produit est le produit des valeurs absolues.
Exemple 1— Produit de deux relatifs
Calculer (−6)×(+4)(-6) \times (+4) et (−3)×(−7)(-3) \times (-7).

Solution

(−6)×(+4)(-6) \times (+4) : signes contraires ⇒\Rightarrow résultat négatif. 6×4=246 \times 4 = 24.
(−6)×(+4)=−24(-6) \times (+4) = -24

(−3)×(−7)(-3) \times (-7) : même signe (deux négatifs) ⇒\Rightarrow résultat positif. 3×7=213 \times 7 = 21.
(−3)×(−7)=+21(-3) \times (-7) = +21
Exemple 2— Produit de plusieurs facteurs
Calculer (−2)×(+3)×(−5)×(−1)(-2) \times (+3) \times (-5) \times (-1).

Solution

On compte le nombre de facteurs négatifs : −2-2, −5-5, −1-1 → 3 facteurs négatifs (impair), donc le résultat est négatif.

Valeur absolue : 2×3×5×1=302 \times 3 \times 5 \times 1 = 30.
(−2)×(+3)×(−5)×(−1)=−30(-2) \times (+3) \times (-5) \times (-1) = -30
Exemple 3— Quotient de deux relatifs
Calculer −36+9\dfrac{-36}{+9} et −15−3\dfrac{-15}{-3}.

Solution

−36+9\dfrac{-36}{+9} : signes contraires ⇒\Rightarrow négatif. 36÷9=436 \div 9 = 4. Résultat : −4-4.

−15−3\dfrac{-15}{-3} : même signe ⇒\Rightarrow positif. 15÷3=515 \div 3 = 5. Résultat : +5+5.
  • Même signe → résultat positif.
  • Signes contraires → résultat négatif.
  • Pour un produit de plusieurs facteurs : compter les négatifs ; pair → positif, impair → négatif.

4Comparaison et ordre des nombres relatifs

Pour comparer deux nombres relatifs, on peut utiliser la droite numérique : le nombre le plus à droite est le plus grand. On peut aussi appliquer les règles suivantes : tout nombre positif est plus grand que 00, tout nombre négatif est plus petit que 00. Entre deux positifs, on compare normalement. Entre deux négatifs, le plus grand est celui dont la valeur absolue est la plus petite.

Pour encadrer un nombre relatif, on cherche deux entiers consécutifs qui l'encadrent. Pour les négatifs, attention au sens : −5<−4,3<−4-5 < -4{,}3 < -4.

On peut également ranger une liste de relatifs en ordre croissant ou décroissant. La méthode la plus sûre est de les placer sur la droite numérique et de les lire de gauche à droite (ordre croissant).

Définition

Ordre croissant

Ranger des nombres du plus petit au plus grand. Sur la droite numérique, on les lit de gauche à droite.

Définition

Encadrement

Encadrer un nombre xx par deux entiers consécutifs nn et n+1n+1 signifie écrire n<x<n+1n < x < n+1 (ou n≤x≤n+1n \leq x \leq n+1).
Exemple 1— Comparaison de négatifs
Comparer −7-7 et −3-3.

Solution

Les deux sont négatifs. On compare les valeurs absolues : ∣−7∣=7>∣−3∣=3|-7| = 7 > |-3| = 3. Donc −7-7 est plus loin de 00 que −3-3, ce qui signifie −7<−3-7 < -3.
Exemple 2— Classement
Classer dans l'ordre décroissant : −1-1, +4+4, −6-6, 00, +1,5+1{,}5, −0,5-0{,}5.

Solution

Sur la droite numérique (de gauche à droite) : −6<−1<−0,5<0<+1,5<+4-6 < -1 < -0{,}5 < 0 < +1{,}5 < +4.

Ordre décroissant (on lit de droite à gauche) : +4>+1,5>0>−0,5>−1>−6+4 > +1{,}5 > 0 > -0{,}5 > -1 > -6.

⚠ Attention

Entre deux négatifs, le plus grand est celui dont la valeur absolue est la plus PETITE. Beaucoup d'élèves pensent à tort que −10>−2-10 > -2 parce que 10>210 > 2. C'est l'inverse : −10<−2-10 < -2.

★ À retenir

  • 1
    Un nombre relatif est positif, négatif ou nul. Les positifs sont à droite de 00, les négatifs à gauche sur la droite numérique.
  • 2
    Pour additionner deux relatifs de même signe : on additionne les valeurs absolues et on garde le signe.
  • 3
    Pour additionner deux relatifs de signes contraires : on soustrait les valeurs absolues et on prend le signe du nombre ayant la plus grande valeur absolue.
  • 4
    Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé : a−(−b)=a+ba - (-b) = a + b.
  • 5
    Règle des signes pour ×\times et ÷\div : même signe ⇒+\Rightarrow + ; signes contraires ⇒−\Rightarrow -.
  • 6
    Entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui dont la valeur absolue est la plus petite : −2>−8-2 > -8.

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Exercices — Nombres Relatifs

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Chapitre 02

Calculs avec les Fractions

Multiplication, division et priorités avec les fractions

Chapitre 03

Calcul Littéral

Expressions algébriques, développement et réduction

Chapitre 04

Proportionnalité

Pourcentages, échelles et vitesse