MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 03 · Cinquième

Cours

Calcul Littéral

Expressions, développement et réduction

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Le calcul littéral consiste à travailler avec des lettres (appelées variables ou inconnues) qui représentent des nombres. Cette abstraction est la base de toute l'algèbre. En 5ème, on apprend à lire et écrire des expressions littérales, à les développer, les réduire et à les utiliser pour résoudre des problèmes.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

  • Maîtriser les méthodes essentielles de calcul littéral.
  • Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Points de vigilance

  • Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
  • Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

1Expressions littérales et conventions d'écriture

Une expression littérale est une expression mathématique contenant au moins une lettre. Ces lettres représentent des nombres inconnus ou variables. Par exemple, 3x+53x + 5 est une expression littérale en xx.

Pour simplifier l'écriture, on adopte plusieurs conventions : le signe ×\times est omis entre un nombre et une lettre (3×x=3x3 \times x = 3x), entre deux lettres (a×b=aba \times b = ab), et entre un nombre et une parenthèse (2×(x+1)=2(x+1)2 \times (x+1) = 2(x+1)). On écrit 1×x=x1 \times x = x (et non 1x1x), (−1)×x=−x(-1) \times x = -x (et non −1x-1x).

La valeur d'une expression littérale s'obtient en substituant la lettre par un nombre précis, puis en calculant.

Définition

Expression littérale

Combinaison de nombres, de lettres et d'opérations. Exemples : 5x−35x - 3, a+b2\frac{a+b}{2}, x2−4x^2 - 4.

Définition

Variable

Lettre utilisée dans une expression qui peut prendre différentes valeurs numériques. On utilise couramment xx, yy, aa, bb, nn, etc.

Définition

Substitution

Remplacer la lettre par une valeur numérique pour calculer la valeur de l'expression. Si x=3x = 3, alors 2x+1=2×3+1=72x + 1 = 2 \times 3 + 1 = 7.
Exemple 1— Calcul de la valeur d'une expression
Calculer la valeur de 3x2−2x+13x^2 - 2x + 1 pour x=−2x = -2.

Solution

On remplace xx par −2-2 (en mettant des parenthèses pour éviter les erreurs de signe) :
3×(−2)2−2×(−2)+1=3×4−(−4)+1=12+4+1=173 \times (-2)^2 - 2 \times (-2) + 1 = 3 \times 4 - (-4) + 1 = 12 + 4 + 1 = 17
Exemple 2— Convention d'écriture
Écrire sans signe ×\times : 5×a×b5 \times a \times b, 3×(x+2)3 \times (x + 2), 1×y1 \times y.

Solution

5×a×b=5ab5 \times a \times b = 5ab

3×(x+2)=3(x+2)3 \times (x+2) = 3(x+2)

1×y=y1 \times y = y
  • Le ×\times est omis entre un coefficient et une lettre, entre deux lettres, ou avant une parenthèse.
  • 1×x1 \times x s'écrit simplement xx, et (−1)×x(-1) \times x s'écrit −x-x.
  • Pour évaluer une expression, on substitue la lettre et on respecte les priorités.

2Réduction d'une expression littérale

Réduire une expression littérale consiste à regrouper les termes semblables (les termes qui ont la même partie littérale) en un seul terme. Par exemple, 3x+5x=8x3x + 5x = 8x car on additionne les coefficients.

Deux termes sont semblables s'ils ont exactement la même partie littérale (même lettre, à la même puissance). Ainsi, 4x4x et −7x-7x sont semblables, mais 4x4x et 4x24x^2 ne le sont pas.

On peut aussi regrouper les termes constants (sans lettre) entre eux. Une expression réduite ne contient plus de termes semblables.

Définition

Termes semblables

Termes qui ont la même partie littérale. Exemples : 3x3x et −5x-5x sont semblables ; 2x22x^2 et 7x27x^2 sont semblables ; mais 3x3x et 3x23x^2 ne sont PAS semblables.

Définition

Réduction

Opération qui consiste à regrouper les termes semblables pour obtenir une expression plus simple.
Exemple 1— Réduction simple
Réduire 5x+3−2x+75x + 3 - 2x + 7.

Solution

On regroupe les termes en xx et les termes constants :
(5x−2x)+(3+7)=3x+10(5x - 2x) + (3 + 7) = 3x + 10
Exemple 2— Réduction avec plusieurs variables
Réduire 4a+3b−2a+b−54a + 3b - 2a + b - 5.

Solution

On regroupe les aa, les bb et les constantes :
(4a−2a)+(3b+b)+(−5)=2a+4b−5(4a - 2a) + (3b + b) + (-5) = 2a + 4b - 5
Exemple 3— Réduction avec puissances
Réduire x2+3x−2x2+x−4x^2 + 3x - 2x^2 + x - 4.

Solution

On regroupe les x2x^2, les xx et les constantes :
(x2−2x2)+(3x+x)+(−4)=−x2+4x−4(x^2 - 2x^2) + (3x + x) + (-4) = -x^2 + 4x - 4

⚠ Attention

On ne peut pas additionner 3x3x et 5x25x^2 car la partie littérale est différente (xx contre x2x^2). Ce serait comme additionner des pommes et des poires.

3Développement d'une expression

Développer une expression, c'est supprimer les parenthèses en utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition. La règle fondamentale est :
k(a+b)=ka+kbetk(a−b)=ka−kbk(a + b) = ka + kb \quad \text{et} \quad k(a - b) = ka - kb

Cela s'appelle la distributivité simple. Lorsqu'on développe k(a+b)k(a+b), on dit qu'on « distribue » kk sur chaque terme de la parenthèse.

Si un facteur négatif précède la parenthèse, attention aux signes : −3(x−2)=−3x+6-3(x - 2) = -3x + 6. De même, −(a−b)=−a+b-(a - b) = -a + b.

Définition

Distributivité

Propriété permettant de développer : k(a+b)=ka+kbk(a + b) = ka + kb. Elle est valable quel que soit le signe de kk, aa ou bb.

Définition

Développement

Transformation d'une expression contenant des parenthèses en une somme de termes sans parenthèses.
Exemple 1— Développement simple
Développer 4(3x−5)4(3x - 5).

Solution

On distribue 44 sur chaque terme :
4(3x−5)=4×3x−4×5=12x−204(3x - 5) = 4 \times 3x - 4 \times 5 = 12x - 20
Exemple 2— Développement avec facteur négatif
Développer −2(5x+3)-2(5x + 3).

Solution

On distribue −2-2 sur chaque terme :
−2(5x+3)=−2×5x+(−2)×3=−10x−6-2(5x + 3) = -2 \times 5x + (-2) \times 3 = -10x - 6
Exemple 3— Développement puis réduction
Développer et réduire 3(x+4)−2(x−1)3(x + 4) - 2(x - 1).

Solution

On développe chaque parenthèse :
3x+12−2x+23x + 12 - 2x + 2
On réduit :
(3x−2x)+(12+2)=x+14(3x - 2x) + (12 + 2) = x + 14

⚠ Attention

Lorsqu'un −- précède la parenthèse, le signe de chaque terme à l'intérieur change. −(2x−3)=−2x+3-(2x - 3) = -2x + 3 (et NON −2x−3-2x - 3).

4Factorisation

La factorisation est l'opération inverse du développement : on transforme une somme en un produit en mettant un facteur commun en évidence.

Pour factoriser 6x+96x + 9, on cherche le plus grand facteur commun à 6x6x et à 99. Ici, c'est 33. On écrit alors 6x+9=3(2x+3)6x + 9 = 3(2x + 3). On peut vérifier en développant : 3(2x+3)=6x+93(2x+3) = 6x + 9.

La factorisation est utile pour simplifier des expressions et pour résoudre des équations. Elle fait le lien entre les deux formes d'une même expression.

Définition

Factorisation

Écriture d'une somme (ou différence) sous forme d'un produit. On met en facteur commun un terme qui divise tous les membres de la somme.

Définition

Facteur commun

Nombre ou expression qui divise tous les termes d'une somme. Pour factoriser 10x+1510x + 15, le facteur commun est 55, donc 10x+15=5(2x+3)10x + 15 = 5(2x + 3).
Exemple 1— Factorisation par un nombre
Factoriser 12x−812x - 8.

Solution

Le PGCD de 1212 et 88 est 44. On met 44 en facteur :
12x−8=4×3x−4×2=4(3x−2)12x - 8 = 4 \times 3x - 4 \times 2 = 4(3x - 2)
Vérification : 4(3x−2)=12x−84(3x-2) = 12x - 8. ✓
Exemple 2— Factorisation par une lettre
Factoriser x2+5xx^2 + 5x.

Solution

Chaque terme contient un facteur xx. On met xx en facteur :
x2+5x=x⋅x+x⋅5=x(x+5)x^2 + 5x = x \cdot x + x \cdot 5 = x(x + 5)
  • Factoriser, c'est l'inverse de développer.
  • On vérifie toujours une factorisation en redéveloppant.
  • Le facteur commun peut être un nombre, une lettre, ou les deux.

★ À retenir

  • 1
    Le signe ×\times est omis entre un nombre et une lettre, entre deux lettres, ou devant une parenthèse.
  • 2
    Pour évaluer une expression, on remplace la lettre par sa valeur (entre parenthèses) et on calcule.
  • 3
    Réduire : on additionne les termes semblables (même partie littérale).
  • 4
    Développer (distributivité) : k(a+b)=ka+kbk(a + b) = ka + kb — on distribue le facteur sur chaque terme.
  • 5
    Avec un signe −- devant une parenthèse, tous les signes à l'intérieur changent.
  • 6
    Factoriser est l'opération inverse du développement : on met le facteur commun en évidence.

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Multiplication, division et priorités avec les fractions

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